Abelian varieties families 中的奇异相交

设 $S$ 为定义在 $\overline{\mathbb{Q}}$ 上的一个光滑不可约曲线，设 $\mathcal{A}$ 为 $S$ 上的一个 abelian 方案，$\mathcal{C}$ 为 $\mathcal{A}$ 中的一条曲线，二者均定义在 $\overline{\mathbb{Q}}$ 上。本文证明，在 $\mathcal{C}$ 与 $\mathcal{A}$ 的 proper 平坦子方案相切的点的集合是有限的。椭圆曲线的情况尤为关键，已由 Corvaja、Demeio、Masser 和 Zannier 给出结果：本文提供一种基于 Pila-Zannier 方法的替代性证明。这种证明方法可能通过有效的点计数定理得到有效结果。该问题属于所谓的不太可能的相交问题范畴，可视为阿贝尔 variety 上的相对 Pink 猜想的一个变体。