特征 $p$ 下单变量多项式族的同时预周期点

对于特征为 $p$ 的域 $L$，多项式 $f \in \overline{\mathbb{F}}_p[x]$ 以及 $\alpha, \beta \in L$，记 $\mathrm{Prep}(f;\alpha,\beta)$ 为所有满足 $\alpha$ 和 $\beta$ 在 $f_{\lambda}(x) := f(x) + \lambda$ 的作用下都是预周期点的 $\lambda \in \overline{L}$ 的集合。Ghioca 和 Hsia 证明了对于某些多项式族，该集合无限若且仅若 $f(\alpha)=f(\beta)$ 或 $\alpha, \beta \in \overline{\mathbb{F}}_p$。在他们的工作基础上，我们确定当 $\mathrm{Prep}(f;\alpha,\beta)$ 无限的条件，具体针对那些被留下的剩余二项式情形。具体而言，设 $f(x)=c_1 x^{d_1} + c_2 x^{d_2} \in \overline{\mathbb{F}}_p[x]$，其中 $c_i \in \overline{\mathbb{F}}_p^*$，$1 \le d_1 < d_2$ 且 $d_i=p^{\ell_i}s_i$，其中 $\ell_i \ge 0$ 且 $p \nmid s_i$。我们证明若 $p^{\ell_2}(s_2-1) < p^{\ell_1}(s_1-1)$，则 $\mathrm{Prep}(f;\alpha,\beta)$ 无限若且仅若 $f(\alpha)=f(\beta)$ 或 $\alpha, \beta \in \overline{\mathbb{F}}_p$。该证明的关键思想是利用与满足 $f(\overline{\alpha})=f(\alpha)$ 的合适元素 $\overline{\alpha} \in \overline{L}$ 相关的参数 $\lambda_{\overline{\alpha}} := \overline{\alpha} - f(\overline{\alpha})$。作为应用，我们将 Asgarli 和 Ghioca 关于碰撞轨道问题的工作推广到满足 $s_2>1$ 且 $p^{\ell_2}(s_2-1) < p^{\ell_1}(s_1-1)$ 的二项式。