正特征下多项式族的同步预周期点

在开创性论文 [BD11]（该论文开辟了算术动力学中非可能相交研究的新途径）中，Baker 和 DeMarco 证明了对于多项式族 $f_\lambda(x):=x^d+\lambda$（由 $\lambda\in\mathbb{C}$ 参数化），给定 $\mathbb{C}$ 中的两个起始点 $a$ 和 $b$，若存在无穷多个 $\lambda\in\mathbb{C}$ 使得 $a$ 和 $b$ 在 $f_\lambda$ 作用下均为预周期的，则 $a^d=b^d$。本文研究了相同的问题，但此次是在特征 $p>0$ 的域中进行。正特征下的答案更为细致，存在三种截然不同的情况：(i) 起始点 $a$ 和 $b$ 均位于 $\Fpbar$ 中；(ii) $d$ 是 $p$ 的幂；(iii) $a$ 和 $b$ 不全位于 $\Fpbar$ 中，且 $d$ 不是 $p$ 的幂。仅在情况 (iii) 下，可得出与特征 0 相同的结论，即 $a^d=b^d$。在情况 (i) 中，对于每个 $\lambda\in\Fpbar$，$a$ 和 $b$ 在 $f_\lambda$ 作用下均为预周期的；而在情况 (ii) 中，可得当且仅当 $a-b\in\Fpbar$ 时，对于每个参数 $\lambda$，$a$ 在 $f_\lambda$ 作用下是预周期的当且仅当 $b$ 在 $f_\lambda$ 作用下是预周期的。