p-adic Mandelbrot 集半径的界

设 $f$ 为定义在非阿基米德域 $C_p$ 上的 $d$ 次多项式，且规范化为首一的并满足 $f(0)=0$。若 $f$ 的所有临界点在 $f$ 的迭代下具有有界轨道，则称 $f$ 为后临界有界的（post-critically bounded, PCB）。已知当 $p$ 大于或等于 $d$ 且 $f$ 为 PCB 时，$f$ 的所有临界点的 p-adic 绝对值均小于或等于 1。我们针对介于 $d/2$ 与 $d$ 之间的素数给出了类似的结果。我们还探索了 2-adic 数上的一个单参数三次多项式族，以说明当 $p$ 小于 $d$ 时，p-adic Mandelbrot 集可能相当复杂，这与简单且已被充分理解的 $p > d$ 情形形成对比。