$\mathbb{P}^k$ 及更高维后临界有限映射的稀疏性：一种复分析方法

次数 $d\geq2$ 的自同态 $f:\mathbb{P}^k\to\mathbb{P}^k$ 若其临界集 $\mathrm{Crit}(f)$ 为预周期的，即存在整数 $m>n\geq0$ 使得 $f^m(\mathrm{Crit}(f))\subseteq f^n(\mathrm{Crit}(f))$，则称其为后临界有限（或 PCF）。当 $k\geq2$ 时，Ingram、Ramadas 与 Silverman 猜想，在 $\mathbb{P}^k$ 的所有 $d$ 次自同态空间 $\mathrm{End}_d^k$ 中，此类自同态并非 Zariski 稠密。我们证明了该猜想。进一步，在所有仿射平面 $\mathbb{A}^2$ 的 $d\geq2$ 次正则多项式自同态空间 $\mathrm{Poly}_d^2$ 中，我们构造了一个稠密且 Zariski 开子集，其中临界集内预周期点的数量具有一致上界。证明结合了算术动力系统中的高度理论与实动力系统方法，以产生具有极大双曲分歧的开子集。