$\mathbb P^1\times \mathbb P^1$ 自同态的不变曲线

设 $A_1, A_2\in \mathbb C(z)$ 为次数至少为二的有理函数，且既不是 Latt\`es 映射，也不共轭于 $z^{\pm n}$ 或 $\pm T_n$。我们描述了形如 $(z_1,z_2)\rightarrow (A_1(z_1),A_2(z_2))$ 的 $(\mathbb P^1(\mathbb C))^2$ 自同态的不变、周期与预周期代数曲线。特别地，我们证明若 $A\in \mathbb C(z)$ 不是“广义 Latt\`es 映射”，则任意 $(A,A)$-不变曲线的亏格为零，并可由与 $A$ 交换的有理函数参数化。作为一个应用，对于定义在 $\mathbb C$ 的子域 $K$ 上的 $A$，我们给出了 $(\mathbb P^1(K))^2$ 中的点具有 Zariski 稠密 $(A, A)$-轨道的判据（用典则高度表示），并由此判据推出 Zhang 关于存在具有 Zariski 稠密前向轨道的有理点猜想的一个版本。我们还证明了关于有理函数迭代的函数分解的一个结果，它特别地蕴含了对于任意给定的双次数 $(d_1,d_2)$，至多存在有限多个 $(A_1, A_2)$-不变曲线。