平面上次数为正的多项式映像的许多周期曲线
动力系统
2025-11-04 v2 代数几何
摘要
本文证明,对于平面上次数为正的正则多项式映像,包含稠密周期曲线族的曲线族在某一迭代映像下保持不变。该设定与 DeMarco 和 Mavraki 最近提出的相对动力学 Manin-Mumford 猜想紧密相关,该猜想涉及参数化的映像族与varieties。我们的结果证明了该猜想的一个弱版本:映像为平面上正则多项式映像且在族中保持不变,曲线族包含稠密周期曲线。该结果亦可视为动力学 Manin-Mumford 类型论断于除子模空间,并以更强的假设证明了动力学 Manin-Mumford 猜想的特殊情形。此外,我们的结果具体蕴含了正则多项式映像下族中一般曲线的均匀次数稳定性陈述。我们展示,对于平面上正则多项式映像族在某些关于无穷远线上支离条件下,对平面上正维子varieties族下的映像引起的更一般的次数稳定性陈述,由相对动力学 Manin-Mumford 猜想给出预测。最后,我们展示了本结果的一个应用:分类所有 admitting 无限多个界限次数周期曲线的正则多项式映像。
引用
@article{arxiv.2508.13873,
title = {Polynomial endomorphisms of $\A^2$ with many periodic curves},
author = {Xiao Zhong},
journal= {arXiv preprint arXiv:2508.13873},
year = {2025}
}