关于 $x^d+c$ 的有理周期点

我们考虑多项式 $\displaystyle f(x)=x^d+c$,其中 $d\ge 2$ 且 $c\in\mathbb Q$。有猜想认为,若 $d=2$,则 $f$ 没有周期恰为 $N\ge 4$ 的有理周期点。在本注记中,固定某个整数 $d\ge 2$,我们证明在所有多项式 $f(x)=x^d+c$、$c\in\Q$ 中,具有任意周期的有理周期点的此类多项式的密度为零。此外,我们建立了具有周期点的多项式 $f$ 与两个算术序列之间的联系。这给出了为使多项式 $f$ 拥有周期恰为 $N$ 的有理周期点,$c$ 和 $d$ 必须满足的必要条件,以及当这样的有理周期点存在时 $f$ 的临界轨道中本原素因子个数的下界。该注记还引入了关于 $f$ 的迭代不可约性的新结果。