具有给定临界轨道可除性条件的多项式构造

我们考虑有理域 $\Q$ 上的多项式族 $f_{d,c}(x)=x^d+c$。固定整数 $d, n\ge 2$，我们证明对某些 $c\in\Q$ 可作为 $f_{d,c}^n(0)$ 的本原素因子出现的素数的密度为正。事实上，在特定假设下，当 $d=2$ 时我们显式计算出该密度。此外，固定 $d,n\ge 2$，我们证明对给定整数 $N>0$，存在 $c\in \Q$ 使得 $f^n(0)$ 至少有 $N$ 个本原素因子，且每个可出现在任意预定幂次。这表明在 $\f(x)$ 的临界轨道中本原素因子个数不存在不依赖于 $c$ 的一致上界。所得结果提供了一种构造形如 $\f(x)$ 的多项式的方法，使其第 $m$ 次迭代（$m\ge1$）的分裂域具有极大可能的伽罗瓦群阶。在此过程中，我们给出了关于局部域上后临界有限多项式 $\f(x)$ 的显式新结果。