$x^d+c$ 的有理周期点及费马-卡塔兰方程

我们研究多项式 $f_{d,c}(x)=x^d+c$ 在有理数域上的有理周期点，其中 $d$ 为大于2的整数。对于周期2，我们分类了次数 $d=4,6$ 的所有可能周期点。我们还证明了对于 $d=2k$ 且 $3\mid 2k-1$ 以及 $k$ 具有大于3的素因子的情况，不存在精确周期为2的有理周期点。此外，在假设 $abc$ 猜想下，我们证明了对足够大的整数 $d$ 且 $c\neq -1$，$f_{d,c}$ 不存在精确周期大于1的有理周期点。