辛泽尔与沃伊齐克主题之变奏

辛泽尔（Schinzel）与沃伊齐克（Wójcik）已证明：若 $\alpha, \beta$ 是不为 $0$ 或 $\pm 1$ 的有理数，则对无穷多个素数 $p$ 有 $\mathrm{ord}_p(\alpha)=\mathrm{ord}_p(\beta)$，其中 $\mathrm{ord}_p(\cdot)$ 表示在 $\mathbb{F}_p^{\times}$ 中的阶。我们首先提出如下问题：何时存在无穷多个素数 $p$ 使得 $\mathrm{ord}_p(\alpha) > \mathrm{ord}_p(\beta)$？我们给出了几类可以证明此情形成立的 $\alpha,\beta$ 对。特别地，我们证明当 $A$ 取遍正整数时，对“100%”的 $A,2$ 对会发生这种情况。最后我们换一个角度，证明了辛泽尔与沃伊齐克定理在虚二次域 $K$ 的整数环上的一个版本：若 $\alpha, \beta \in \mathcal{O}_K$ 非零且均非单位根，则存在 $\mathcal{O}_K$ 的无穷多个极大理想 $P$ 使得 $\mathrm{ord}_P(\alpha) = \mathrm{ord}_P(\beta)$。