E-函数的值不是刘维尔数

Shidlovskii 给出了具有有理泰勒系数的 $E$-函数在有理点（非这些 $E$-函数所满足的底层微分系统的奇点）处值的线性无关系数估计。近来，Beukers 证明了具有任意代数泰勒系数的 $E$-函数在代数点处值的一个定性线性独立定理。本文中，我们获得了任意 $E$-函数在代数点处值的 Shidlovskii 估计的类似结果。这使我们能够解决一个长期悬而未决的问题：证明 $E$-函数在代数点处的值绝不会是刘维尔数。我们还证明了具有有理泰勒系数的 $E$-函数在有理点处的值在 $\overline{\mathbb{Q}}$ 上线性无关当且仅当它们在 $\mathbb{Q}$ 上线性无关。我们的方法基于 Andr\'e 与 Beukers 在 $E$-算子理论中所获结果的改进。