算术Gevrey级数取值之间的关系及其在Gamma函数值上的应用

我们研究了分别由阶为-1（$E$-函数）、0（$G$-函数的解析延拓）或1（$E$-算子在$\infty$处发散级数解的重整化）的算术Gevrey级数在代数点处所取值构成的环${\bf E}$、${\bf G}$和${\bf D}$之间的关系。我们特别证明了${\bf G}$中的任意元素都可以写成以${\bf E}$和${\bf D}$中元素为变量的带代数系数的多元多项式，并且是某个$E$-函数在某一方向上趋于无穷时的极限。这促使我们定义并研究混合函数这一概念，它同时推广了$E$-函数和阶为1的算术Gevrey级数。利用关于阶为1的算术Gevrey级数和混合函数的自然猜想（它们是André和Beukers关于$E$-函数定理的类似物）以及猜想${\bf D}\cap{\bf E}=\overline{\mathbb Q}$（但不必同时需要所有这些猜想），我们推导出若干有趣的丢番图结果，例如混合函数的Beukers关于$E$-函数值线性无关定理的类似物、Gamma函数及其导数在所有非整数代数数处取值的超越性、Gompertz常数的超越性，以及欧拉常数不属于${\bf E}$这一事实。