G-函数值的线性无关性，II. 收敛圆盘之外

给定任意非多项式的 $G$-函数 $F(z)=\sum_{k=0}^\infty A_k z^k$，其收敛半径为 $R$ 且核中含一个 $G$-算子 $L_F$，我们对每个整数 $s\ge 0$ 与 $n\ge 1$ 考虑函数 $F_n^{[s]}(z)=\sum_{k=0}^\infty \frac{A_k}{(k+n)^s}z^k$。这些函数可解析延拓至以 $0$ 为星型点且包含圆盘 $\{\vert z\vert <R\}$ 的域 $\mathcal{D}_F$。固定任意 $\alpha \in\mathcal D_F \cap \overline{\mathbb{Q}}^*$（非 $L_F$ 的奇点）以及任意包含 $\alpha$ 与所有 $A_k$ 的数域 $\mathbb{K}$。令 $\Phi_{\alpha, S}$ 为由值 $F_n^{[s]}(\alpha)$（$n\ge 1$ 且 $0\le s\le S$）张成的 $\mathbb{K}$-向量空间。我们证明对任意 $S$，存在常数 $u_{\mathbb{K},F}>0$ 与 $v_F>0$ 使得 $u_{\mathbb{K},F}\log(S)\le \dim_\mathbb{K}(\Phi_{\alpha, S })\le v_FS$。这似乎是首个关于在收敛圆盘之外求值的 $G$-函数值的丢番图结果。该定理包含了作者此前在[{\em Linear independence of values of G-functions}, 46 pages, J. Europ. Math. Soc., to appear]中的结果，其中假设 $\alpha\in \overline{\mathbb{Q}}^*$ 满足 $\vert \alpha\vert <R$。其证明依赖于针对与 $F$ 关联的某些非全纯函数构造显式 Pad\'e 逼近问题，且与上述论文中的证明颇为不同。它运用了 Andr\'e、Chudnovsky 与 Katz 关于 $G$-算子的结果、数域上类 Siegel 的线性无关判据，以及基于 Bertrand-Beukers 与 Bertrand 方法建立的 Shidlovsky 引理的深远推广。