关于 $G$-函数值线性独立性的研究

我们考虑一个 $G$-函数 $F(z)=\sum_{k=0}^{\infty} A_k z^k \in \mathbb{K}[[z]]$，其中 $\mathbb{K}$ 为一个数域，收敛半径为 $R$，被 $G$-算子 $L \in \mathbb{K}(z)[\mathrm{d}/\mathrm{d}z]$ 零化，以及参数 $\beta \in \mathbb{Q} \setminus \mathbb{Z}_{\leqslant 0}$。我们定义一族由整数 $s$ 和 $n$ 索引的 $G$-函数 $F_{\beta,n}^{[s]}(z)=\sum_{k=0}^{\infty} \frac{A_k}{(k+\beta+n)^s} z^{k+n}$。固定 $\alpha \in \mathbb{K}^* \cap D(0,R)$。令 $\Phi_{\alpha,\beta,S}$ 为由数值 $F_{\beta,n}^{[s]}(\alpha)$（$n \in \mathbb{N}$，$0 \leqslant s \leqslant S$）生成的 $\mathbb{K}$-向量空间。我们证明存在某些正常数 $u_{\mathbb{K},F,\beta}$ 和 $v_{F,\beta}$ 使得 $u_{\mathbb{K},F,\beta} \log(S) \leqslant \dim_{\mathbb{K}} \Phi_{\alpha,\beta,S} \leqslant v_{F,\beta} S$。这推广了 Fischler 与 Rivoal (2017) 的先前定理（即 $\beta=0$ 的情形）。我们的证明是对他们文章“Linear independence of values of $G$-functions”（[FR]）的改编，利用了关于 $G$-算子结构的 Andr\'e-Chudnovsky-Katz 定理与鞍点法。