关于一类函数项级数线性独立性的注记

对于 $k\in\mathbb R$，我们考虑在半平面 $Re\; z>k$ 内具有（至多）次指数增长趋于实线上 $+\infty$ 的全纯函数所构成的 $\mathbb C$-代数 $\mathcal A_k$。在函数序列的 $\mathcal A_k$-代数 $\{\alpha:\mathbb N\rightarrow \mathcal A_k\}$ 中，我们考虑由满足如下条件的 $\alpha$ 组成的 $\mathcal A_k$-子代数 $\mathcal H_k$：存在连续映射 $M:\{Re\; z>k\}\rightarrow [0,+\infty)$ 使得对所有 $Re\; z>k,n\geq 1$ 有 $|\alpha(n)(z)|\leq M(z)n^k$，且对所有 $a>0$ 有 $\lim_{x\rightarrow +\infty}e^{-ax}M(x)=0$。给定满足某些条件的全纯函数序列 $L$，我们证明映射 $\alpha\mapsto F_L(\alpha)$（其中 $F_L(\alpha):=\sum_{n=1}^{+\infty}\alpha(n)(z)L(n)(z)$）是 $\mathcal A_k$-模（或 $\mathcal A_k$-代数）的单射态射。因此，若 $n\mapsto \alpha_j(n)(z)\in\mathbb C$，$1\leq j\leq r$，在 $Re\; z>k$ 的非离散子集上关于 $\mathbb C$ 线性（代数）独立，则 $F_{\alpha_1},\ldots,F_{\alpha_r}$ 关于 $\mathcal A_k$ 的商域线性（代数）独立。