微分不等式与拟正规族

我们证明，若在区域 $D$ 内的一族亚纯函数 ${\cal F}$ 满足 $$\frac{|f^{(k)}|}{1+|f^{(j)}|^\alpha}(z)\ge C \qquad \mbox{对于所有} z\in D \mbox{及所有} f\in {\cal F}$$ (其中 $k$ 和 $j$ 为满足 $k>j\ge 0$ 的整数，$C>0$，$\alpha>1$ 为实数)，则该族是拟正规的。此外，如果 ${\cal F}$ 中的所有函数都是全纯的，则 ${\cal F}$ 的拟正规阶数至多为 $j-1$。证明依赖于 Zalcman 重缩放方法以及先前关于构成正规性的微分不等式的结果。