关于亚纯函数正规性若干定理的高维推广

在[Israel J. Math, 2014]中，Grahl与Nevo对著名的Montel正规性准则作出了重要改进。他们证明了对于域$D\subset \mathbb C$中的亚纯函数族$\mathcal F$以及正常数$\epsilon$，若对每个$f\in \mathcal F$存在亚纯函数$a_f,b_f,c_f$使得$f$在$D$中省略$a_f,b_f,c_f$，且对所有$z\in D$有$$\min\{\rho(a_f(z),b_f(z)), \rho(b_f(z),c_f(z)), \rho(c_f(z),a_f(z))\}\geq \epsilon,$$则$\mathcal F$在$D$中正规。此处$\rho$为$\widehat{\mathbb C}$中的球面度量。本文建立了上述结果以及下列著名Lappan结果的高维版本：单位圆盘$\triangle:=\{z\in\mathbb C: |z|<1\}$中的亚纯函数$f$若存在五个相异值$a_1,\dots,a_5$使得$$\sup\{(1-|z|^2)\frac{ |f '(z)|}{1+|f(z)|^2}: z\in f^{-1}\{a_1,\dots,a_5\}\} < \infty,$$则$f$正规。