类 ${\bf B}^{\boldsymbol(m)}$ 中函数的进一步性质

若函数 $\alpha(x)$ 具有形如 $\alpha(x)\sim \sum^\infty_{i=0}\alpha_ix^{\gamma-i}$（当 $x\to\infty$ 时）且可逐项微分无穷多次的渐近展开，则称其属于集合 ${\bf A}^{(\gamma)}$。函数 $f(x)$ 属于类 ${\bf B}^{(m)}$，若其满足形如 $f(x)=\sum^m_{k=1}p_k(x)f^{(k)}(x)$ 的线性齐次微分方程，其中 $p_k\in {\bf A}^{(i_k)}$，$i_k$ 为满足 $i_k\leq k$ 的整数。已证明这些函数具有许多有趣的性质，并且它们的积分 $\int^\infty_0 f(x)\,dx$（无论收敛或发散）都可通过 Levin--Sidi $D^{(m)}$-变换非常高效地求值。（在发散情形下，它们以某种可和性意义定义，例如 Abel 可和性或 Hadamard 有限部分，或两者的混合。）在本注记中，我们证明若 $f(x)\in {\bf B}^{(m)}$，则 $(f\circ g)(x)=f(g(x))$ 也属于 ${\bf B}^{(m)}$，其中对所有足够大的 $x$ 有 $g(x)>0$ 且 $g\in {\bf A}^{(s)}$，$s$ 为正整数。这极大地扩展了 $D^{(m)}$-变换的适用范围，使之包含具有复杂参数的函数。我们通过将 $D^{(3)}$ 变换应用于两个积分 $I[f]$ 和 $I[f\circ g]$（其中某些 $f\in{\bf B}^{(3)}$ 且 $g\in{\bf A}^{(2)}$）来展示结果的有效性。