一类 $L$-函数的函数方程与 Voronoï 型求和恒等式的等价性

至今，估计算术函数均值增长的最佳方法依赖于 Voronoï 求和公式。通过观察其求和公式证明中的一般模式，Voronoï 推测，对于系数为「算术函数」$a(n)$ 的 $\sum a(n)f(n)$，只要 $f(n)$ 是「良好」的检验函数，即可获得类似的求和公式。这些算术函数 $a(n)$ 之所以被称为算术函数，是因为人们期望它们作为满足某些性质的 $L$-函数的系数出现。众所周知，一般 $L$-函数的函数方程可用于推导该 $L$-函数的 Voronoï 型求和恒等式。在本文中，我们证明此类 Voronoï 型求和恒等式实际上赋予了 $L$-函数某些结构性质，特别是导出了函数方程。我们通过考虑涉及多个 Gamma 因子的函数方程的狄利克雷级数来证明：一个给定的算术函数当且仅当满足上述求和公式时，才作为此类狄利克雷级数的系数出现。