函数方程组解的加法可解性与线性无关性

本文旨在达成两个目标。一方面，研究了函数方程组 $$d_{k}(xy)=\sum_{i=0}^{k}\Gamma(i,k-i) d_{i}(x)d_{k-i}(y) \qquad (x,y\in \R,\,k\in\{0,\ldots,n\})$$ 的加法可解性，其中 $\Delta_n:=\big\{(i,j)\in\Z\times\Z\mid 0\leq i,j\mbox{and}i+j\leq n\big\}$ 且 $\Gamma\colon\Delta_n\to\R$ 是一个对称函数，满足当 $i\cdot j=0$ 时 $\Gamma(i,j)=1$。另一方面，刻画了上述方程组的加法解 $d_{0},d_{1},\dots,d_{n}\colon \R\to\R$ 的线性相关性与线性无关性。作为主要结果的推论，对于任意非零实导子 $d\colon\R\to\R$，证明了 $d$ 的迭代 $d^0,d^1,\dots,d^n$ 是线性无关的，且映射 $x\mapsto (x,d^1(x),\dots,d^n(x))$ 的图像在 $\R^{n+1}$ 中稠密。