多个 Lotka-Volterra 系统解的代数独立性

考虑一些非零复数 $a_i, b_i, c_i, d_i$，其中 $1 \leq i \leq n$，以及相关的经典 Lotka-Volterra 系统 $$\begin{cases} x' = a_i xy + b_i y \\ y' = c_i xy + d_i y \text{ .} \end{cases}$$ 我们证明，只要对所有 $i$ 有 $b_i \neq d_i$，且对 $i \neq j$ 有 $\{ b_i, d_i\} \neq \{ b_j, d_j\}$，那么任意 $m$ 个两两不同、非退化的解元组 $(x_1,y_1) , \cdots , (x_m,y_m)$ 在 $\mathbb{C}$ 上是代数独立的，即 $\mathrm{trdeg}((x_1,y_1) , \cdots , (x_m,y_m)/\mathbb{C}) = 2m$。我们的证明依赖于扩展 Duan 和 Nagloo 的近期工作，通过证明只要 $b_i \neq d_i$，这些系统就是强极小的。我们还推广了 Brestovski 的一个定理，该定理允许我们使用不变体积形式来控制代数关系。最后，我们通过使用几何稳定性理论中的机制，完全分类了非强极小（即 $b_i = d_i$ 情况）下的所有不变代数曲线。