Theta常数值的代数独立性结果，II

令 $\theta_3(\tau)=1+2\sum_{\nu=1}^{\infty} q^{\nu^2}$ 其中 $q=e^{i\pi \tau}$ 表示 Jacobi theta 函数 $$\theta(z|\tau) \,=\,\sum_{\nu=-\infty}^{\infty} e^{\pi i\nu^2\tau + 2\pi i\nu z} \,.$$ 的 Thetanullwert（零值）。此外，令 $\theta_2(\tau)=2\sum_{\nu=0}^{\infty} q^{{(\nu+1/2)}^2}$ 且 $\theta_4(\tau)=1+2\sum_{\nu=1}^{\infty} {(-1)}^{\nu}q^{\nu^2}$。对于满足 $0<|q|<1$ 的代数数 $q$ 以及任意 $j\in \{ 2,3,4\}$，我们证明了对于所有奇数 $n\geq 3$，数 $\theta_j(n\tau)$ 与 $\theta_j(\tau)$ 在 $\mathbb{Q}$ 上的代数独立性。在假设 $q$ 与 $\tau$ 满足上述相同条件的情形下，我们利用一个涉及结式（resultants）的判据得到了充分条件，以判定 $\theta_j(2m\tau)$ 与 $\theta_j(\tau)$ $(j=2,3,4)$ 以及 $\theta_3(4m\tau)$ 与 $\theta_3(\tau)$（其中 $m$ 为奇数正整数）在 $\mathbb{Q}$ 上的代数独立性。特别地，我们证明了对于满足 $2\leq n\leq 22$ 的偶数 $n$，$\theta_3(n\tau)$ 与 $\theta_3(\tau)$ 的代数独立性。本文延续了第一作者的工作，其已证明了对于 $m=1,2,\dots$，$\theta_3(2^m\tau)$ 与 $\theta_3(\tau)$ 的代数独立性。