Jacobi theta 常数值的代数独立性结果

令 $\theta_3(\tau)=1+2\sum_{\nu=1}^{\infty} q^{\nu^2}$，其中 $q=e^{i\pi \tau}$ 且 $\Im (\tau)>0$，表示 Jacobi theta 函数 $$\theta(z|\tau) \,=\,\sum_{\nu=-\infty}^{\infty} e^{\pi i\nu^2\tau + 2\pi i\nu z} \,.$$ 的 Thetanullwert。此外，令 $\theta_2(\tau)=2\sum_{\nu=0}^{\infty} q^{{(\nu+1/2)}^2}$ 且 $\theta_4(\tau)=1+2\sum_{\nu=1}^{\infty} {(-1)}^{\nu}q^{\nu^2}$。对于每个不等于2的幂的偶整数 $n\geq 6$，我们构造性地证明存在一个非平凡整系数多项式 $Q_n(X,Y)$，使得 $$Q_n\Big( \,\frac{\theta_3^4(n\tau)}{\theta_3^4(\tau)},\frac{\theta_2^4(\tau)}{\theta_3^4(\tau)}\, \Big) \,=\, 0$$ 对 $\mathbb{C}$ 上半平面中的所有复数 $\tau$ 成立。这些多项式被用于证明对于所有满足 $0<|q|<1$ 的代数数 $q=e^{i\pi \tau}$，$\theta_3(n\tau)$ 与 $\theta_3(\tau)$ 是代数独立的。结合作者先前的结果，证明了对于这样的代数数 $q$，对每个整数 $n\geq 2$，$\theta_3(n\tau)$ 与 $\theta_3(\tau)$ 在 $\mathbb{Q}$ 上代数独立。此外，还给出了关于整数 $\ell,m,n\geq 1$ 时三个数 $\theta_3(\ell\tau)$、$\theta_3(m\tau)$ 与 $\theta_3(n\tau)$ 在 $\mathbb{Q}$ 上代数相关性的结果。