代数独立性与黑盒恒等式检验

代数独立性是交换代数中的一个高级概念，它将线性多项式的独立性推广到更高次。多项式集合{f_1, ..., f_m} \subset \F[x_1, ..., x_n]称为代数独立的，如果不存在非零多项式F使得F(f_1, ..., f_m) = 0。超越次数trdeg{f_1, ..., f_m}是集合中代数独立多项式的最大个数r。在本文中，我们设计了黑盒且高效的线性映射\phi，在假设f_i稀疏且r较小的条件下，将变量数从n减少到r，同时保持trdeg{\phi(f_i)}_i = r。我们将这些基本映射应用于解决黑盒恒等式检验的几个情形：(1) 给定一个多项式度电路C和超越次数为r的稀疏多项式f_1, ..., f_m，我们可以在poly(size(D))^r时间内黑盒检验D := C(f_1, ..., f_m)是否为零。(2) 定义spsp_\delta(k,s,n)电路C为\sum_{i=1}^k \prod_{j=1}^s f_{i,j}的形式，其中f_{i,j}是次数至多为\delta的稀疏n元多项式。对于k=2，我们给出了一个poly(sn\delta)^{\delta^2}时间的黑盒恒等式检验。(3) 对于一般的深度-4电路，我们定义了秩的概念。假设最小简单spsp_\delta(k,s,n)恒等式存在秩界R，我们给出了spsp_\delta(k,s,n)电路的一个poly(snR\delta)^{Rk\delta^2}时间的黑盒恒等式检验。这在一定程度上将深度-3电路的最新成果推广到了深度-4电路。超越次数的概念在大特征或零特征域上效果最佳，但我们也给出了适用于任意域的结果版本。