低次非混合 $\Sigma\Pi\Sigma\Pi(k)$ 电路的黑盒恒等测试

若对于每个 $i\in[k]$，有 $F_i=f_{i1}(x_1)... f_{in}(x_n)$，其中每个 $f_{ij}$ 是以稀疏表示给出的单变量多项式，则称 $\Sigma\Pi\Sigma\Pi(k)$ 电路 $C=\sum_{i=1}^kF_i=\sum_{i=1}^k\prod_{j=1}^{d_i}f_{ij}$ 为非混合的。在本文中，我们给出了一种针对低次非混合 $\Sigma\Pi\Sigma\Pi(k)$ 电路恒等测试的多项式时间黑盒算法。为了获得该黑盒算法，我们首先证明了一类特殊的规模为 $s$ 的低次非混合 $\Sigma\Pi\Sigma\Pi(k)$ 电路是 $s^{O(k^2)}$-稀疏的。然后，基于上述稀疏性结果，我们在多项式时间内为低次非混合 $\Sigma\Pi\Sigma\Pi(k)$ 电路构造了一个击中集 $\mathcal{H}$。所构造的击中集规模为多项式大小。因此，我们可以通过检查对于每个 $a\in\mathcal{H}$ 是否有 $C(a)=0$ 来测试该电路或多项式 $C$ 是否恒为零。这是首个针对低次非混合 $\Sigma\Pi\Sigma\Pi(k)$ 电路的多项式时间黑盒算法，同时也部分回答了 Saxena \cite{SAX} 提出的一个问题。