高次深度4幂电路的多元多项式恒等测试与重构

我们研究形式为 $$\Sigma^{[r]}\!\wedge^{[d]}\!\Sigma^{[s]}\!\Pi^{[\delta]}$$ 的深度4算术电路的确定性多项式恒等测试（PIT）和重构算法。该模型推广了Waring分解和对角电路，并捕获了低次稀疏多项式的幂的和。具体而言，每个电路计算$r$项的和，其中每一项是次数为$\delta$的$s$-稀疏多项式的$d$次幂。该模型还包括张量分解和基于矩的学习任务（如混合模型和子空间学习）中出现的代数表示。我们给出了该模型中PIT和重构的确定性最坏情况算法。我们的PIT构造适用于$d>r^2$的情况，并产生大小为$O(r^4 s^4 n^2 d \delta^3)$的显式命中集。重构算法在$d=\Omega(r^4\delta)$的条件下以$\textrm{poly}(n,s,d)$时间运行，特别是它能容忍多项式大的顶部扇入$r$和底部次数$\delta$。这两个结果在特征为零的域和特征足够大的域上都成立。这些算法为具有无界顶部扇入的深度4幂电路提供了首个多项式时间确定性解决方案。特别是，重构结果改进了先前需要非退化或平均情况假设的工作。PIT构造依赖于函数域的ABC定理（Mason-Stothers定理），该定理确保了在适当投影后高次稀疏多项式幂的线性无关性。重构算法将其与基于Wronskian的微分算子、其核的结构性质以及Klivans-Spielman命中集的鲁棒版本相结合。