张量的恒等测试、低秩恢复与压缩感知

我们研究了为深度3集多线性电路（在任意域上）获得高效确定性黑盒多项式恒等测试算法的问题。这类电路具有高效的确定性白盒多项式恒等测试算法（由Raz和Shpilka给出），但尚未已知的此类黑盒算法。我们将此问题重新表述为寻找一个由秩1张量张成的低维子空间H，使得对偶空间ker(H)中的任何非零张量都具有高秩。我们得到了次数为2的张量（矩阵）的本质上最优规模的显式命中集构造，并得到了任意张量的拟多项式规模命中集（但第二个命中集的显式性较弱）。我们还展示了与执行矩阵低秩恢复任务之间的联系，该任务在压缩感知领域中研究。低秩恢复要求（例如，在实数域上）在M的秩<=r的承诺下，从少量测量中恢复矩阵M。我们还给出了低秩恢复与稀疏（向量）恢复任务之间的形式化联系：任何精确恢复长度为n、稀疏度为2r的向量的稀疏恢复算法，使用m次非自适应测量，可导出精确恢复秩<=r的nxn矩阵的低秩恢复方案，进行2nm次非自适应测量。此外，如果稀疏恢复算法的运行时间为\tau，则低秩恢复算法的运行时间为O(rn²+n\tau)。我们使用线性代数技术而非压缩感知算法中更常见的凸优化来获得此归约。通过使用对偶Reed-Solomon码，我们能够（确定性地）构造在实数域上采用4nr次测量的低秩恢复方案，使得测量可以全部为秩1矩阵或全部为稀疏矩阵。