张量θ范数与低秩恢复

我们研究了将压缩感知与低秩矩阵恢复推广至从不完全线性信息中恢复低秩张量。尽管通过核范数最小化重建低秩矩阵如今已相当明晰，但由于张量分解带来的各种理论与计算困难，对高阶张量的推广几乎尚无理论。事实上，用于矩阵恢复的核范数最小化是一种易处理的凸松弛方法，但核范数向张量的推广在一般情况下计算是NP难的。在本文中，我们引入了张量核范数的凸松弛，可通过半定规划在多项式时间内计算。我们的方法基于θ体（theta bodies），一个来自计算代数几何、类似于Lasserre松弛的概念。我们引入由对应于张量不同矩阵化的二阶子式（将张量元素视为变量）生成的多项式理想，使得核范数球是该理想代数簇的凸包。此类理想的第$k$个θ体产生一种新范数，我们称之为$\theta_k$-范数。我们证明在矩阵情形下，这些范数退化为核范数。然而对于阶数$d \geq 3$的张量，我们得到新范数。相应的单位-$\theta_k$-范数球序列渐近收敛于单位张量核范数球。通过给出理想的Gröbner基，我们明确给出了用于计算$\theta_k$-范数以及在仿射约束下最小化$\theta_k$-范数的半定规划。通过$\theta_1$-范数最小化进行三阶张量恢复的数值实验表明，我们的方法能从未完全线性（随机）测量中成功重建低秩张量。