基于局部测量的非凸张量恢复

受限于无法感知整个张量的场景，本文提出了一种新颖的张量压缩感知模型，其中仅通过相互独立的矩阵对每个侧面切片进行感知来获取测量值。利用低管秩结构，我们使用两个紧凑的张量因子对未知张量 ${\boldsymbol {\mathcal X}}^\star$ 进行重新参数化，并将恢复问题表述为非凸最小化问题。为解决该问题，我们首先提出了一种交替最小化算法，称为 \textsf{Alt-PGD-Min}，该算法分别使用投影梯度下降和精确最小化步骤迭代优化两个因子。尽管是非凸的，我们证明了 \textsf{Alt-PGD-Min} 在 $\mathcal O\left( \kappa^2 \log \frac{1}{\epsilon}\right)$ 迭代复杂度和 $\mathcal O\left( \kappa^6rn_3\log n_3 \left( \kappa^2r\left(n_1 + n_2 \right) + n_1 \log \frac{1}{\epsilon}\right) \right)$ 样本复杂度下实现了 $\epsilon$ 精度恢复，其中 $\kappa$ 表示 $\boldsymbol{\mathcal X}^\star$ 的张量条件数。为了进一步加速收敛，特别是当张量病态且 $\kappa$ 较大时，我们证明了 \textsf{Alt-ScalePGD-Min} 使用可高效计算的近似 Hessian 矩阵对梯度更新进行预处理。我们表明 \textsf{Alt-ScalePGD-Min} 实现了与 $\kappa$ 无关的迭代复杂度 $\mathcal O(\log \frac{1}{\epsilon})$，并将样本复杂度改进为 $\mathcal O\left( \kappa^4 rn_3 \log n_3 \left( \kappa^4r(n_1+n_2) + n_1 \log \frac{1}{\epsilon}\right) \right)$。实验验证了所提方法的有效性。