普遍提升压缩感知的相变性能：非等距矩阵未必是坏矩阵

在压缩感知问题中，$\ell_1$ 最小化或基追踪（Basis Pursuit）已知在多项式时间算法中具有最佳的可证明稀疏度恢复相变性能。寻找性能优于 $\ell_1$ 最小化的替代多项式时间算法具有重要的理论和实际意义。\cite{Icassp reweighted l_1}、\cite{Isit reweighted l_1}、\cite{XuScaingLaw} 和 \cite{iterativereweightedjournal} 表明，对于非零元素遵循幅度概率密度函数 (pdf) $f(\cdot)$ 且其 $t$ 阶导数 $f^{t}(0) \neq 0$（对于某个整数 $t \geq 0$）的信号，两阶段重加权 $\ell_1$ 最小化算法可以提升相变性能。然而，对于非零元素在分布上严格远离零的信号（例如恒模信号，仅取值 `$+d$'或`$-d$'，其中 $d$ 为某个非零实数），目前尚无已知的多项式时间信号恢复算法能提供优于普通 $\ell_1$ 最小化的相变性能，尤其是对于稠密感知矩阵。本文证明，与 $\ell_1$ 最小化相比，一种多项式时间算法可以普遍提升压缩感知的相变性能，即使对于具有恒模非零元素的信号也是如此。与传统认为压缩感知矩阵应具备等距性的观点相反，我们表明非等距矩阵未必是坏的感知矩阵。本文还提供了一个在非等距感知矩阵下恢复稀疏信号的框架。