针对 ROABP 和集合多重线性电路之和的击中集

我们给出了一种针对未知序只读无忘代数分支程序（ROABP）的黑盒多项式恒等测试算法，其时间复杂度为$n^{O(\log n)}$（$n$为输入规模）。该类问题的已知最佳结果为$n^{O(\log^2 n)}$（由 Forbes-Saptharishi-Shpilka, STOC 2014 提出），且仅适用于多重线性 ROABP。我们消除了其对单项式次数的指数依赖。借此，我们将未知序 ROABP 的时间复杂度提升至与已知序 ROABP（Forbes-Shpilka, FOCS 2013）以及深度 -3 集合多重线性电路（Agrawal-Saha-Saxena, STOC 2013）相当的水平。我们的证明更为简洁，并引入了一种称为基隔离（basis isolation）的新技术。深度 -3 模型近期备受关注，因其已成为理解一般算术电路的基石。其多重线性限制情形已知存在指数下界，但尚无非平凡的黑盒恒等测试。本文朝设计此类击中集迈出了一步。我们给出了针对常数个集合多重线性深度 -3 电路之和的首个亚指数白盒 PIT。为此，我们定义了距离和基集的概念。对于多重线性深度 -3 电路，距离衡量划分偏离单纯细化的程度。我们设计了针对$d$-距离的击中集，时间复杂度为$n^{O(d \log n)}$。此外，我们将结果推广至距离较大但在特定变量基集上受限较小的模型。我们还探索了一种新的 ROABP 模型，其中因子矩阵可逆（称为可逆因子 ROABP）。我们设计了针对宽度为$w$的可逆因子 ROABP 的击中集，时间复杂度为$\text{poly}(n^{w^2})$。此外，当$w=2$时，我们可以去掉可逆性限制。此前，针对宽度 -2 ROABP 的最佳结果为拟多项式时间（Forbes-Saptharishi-Shpilka, STOC 2014）。