代数模型命中集的近最优自举

$\newcommand{\inparen}[1]{\left( #1 \right)} \newcommand{\pfrac}[2]{\inparen{\frac{1}{2}}} \newcommand{\ilog}[1]{\log^{\circ #1}} \newcommand{\F}{\mathbb{F}}$多项式恒等式引理（亦称“Schwartz--Zippel 引理”）指出，任意非零多项式 $f(x_1,\ldots, x_n)$，其度数至多为 $s$，将在任意网格 $S^n \subseteq \F^n$ 上某点取非零值，其中 $|S| > s$。因此，对于大小 $(s+1)^n$ 的所有 $n$ 元度数-$s$、大小-$s$ 代数电路，存在一个显式命中集。本文中，我们证明如下结果：$\bullet$ 设 $\epsilon > 0$ 为常数。对足够大的常数 $n$，以及所有 $s > n$，若我们对可由大小 $s$ 的代数电路计算的 $n$ 元度数-$s$ 多项式类有一个大小为 $(s+1)^{n-\epsilon}$ 的显式命中集，则对所有大 $s$，我们对度数 $s$、大小 $s$ 的 $s$ 元电路有一个大小为 $s^{\exp(\exp (O(\log^\ast s)))}$ 的显式命中集。也就是说，即便对常数元电路，若我们能获得相对于平凡 $(s+1)^{n}$ 大小命中集的勉强非平凡指数（一个 $s^{\Omega(1)}$ 因子的改进），我们就能得到 PIT 的几乎完全去随机化。$\bullet$ 上述结果在将“电路”替换为“公式”或“代数分支程序”时仍成立。这推广了 Agrawal、Ghosh 与 Saxena (STOC 2018, PNAS 2019) 近期令人惊讶的结果，他们证明了对于代数电路类，若假设提供大小不超过 $\inparen{s^{n^{0.5 - \delta}}}$（其中 $\delta> 0$ 为任意常数）的命中集，则得到相同结论。因此，我们的工作显著弱化了 Agrawal、Ghosh 与 Saxena 的假设，仅要求相对于平凡命中集有略微非平凡的节省，并首次给出了针对代数公式的此类结果。