VP 闭包命中集的 PSPACE 构造
计算复杂性
2017-12-29 v1 代数几何
摘要
本文研究在实数或复数上构造 VP 闭包的命中集的复杂度,VP 是一类可由多项式规模代数电路计算的多项式在无穷小意义下逼近的多项式类。具体而言,我们证明存在一个 PSPACE 算法,给定一元表示的 n、s、r,输出有理数上大小为 poly(n,s,r) 的 n 元组集合,其比特复杂度为 poly(n,s,r),该集合命中所有作为规模 s 代数电路极限的 n 元 r 次多项式。此前已知该规模的随机集合是命中集,但被证明可用的构造仅在 EXPSPACE 中已知(或在假设广义黎曼假设下于 EXPH 中已知)。作为推论,我们得到一系列其他代数问题,如 Noether 正规化引理,也可在 PSPACE 中确定性求解,而此前仅知随机算法与 EXPSPACE 算法(或在假设广义黎曼假设下于 EXPH 中)。证明依赖于鲁棒命中集这一新概念,即一组输入使得任何可由多项式规模代数电路计算的非零多项式在该集合中至少一个元素上取值不太小。证明此类鲁棒命中集的存在性是证明中的主要技术困难。我们的证明使用了多项式的反集中结果、代数几何的基本工具以及实数的存在性理论。
引用
@article{arxiv.1712.09967,
title = {A PSPACE Construction of a Hitting Set for the Closure of Small Algebraic Circuits},
author = {Michael A. Forbes and Amir Shpilka},
journal= {arXiv preprint arXiv:1712.09967},
year = {2017}
}