理想、行列式与伸直:证明并利用多项式理想的低界

我们证明,由 $n \times n$ 矩阵 $X$ 的 $r \times r$ 子式生成的理想中的任意非零多项式都可用于高效近似行列式。对于该理想中的任意非零多项式 $f$,我们构造了一个小规模深度三的 $f$-预言机电路,在边界复杂度意义下近似大小为 $\Theta(r^{1/3})$ 的行列式。对于许多代数电路类,这意味着由 $r \times r$ 子式生成的理想中的每个非零多项式,其近似计算难度至少与大小为 $\Theta(r^{1/3})$ 的行列式相当。我们还证明了关于 $2n \times 2n$ 反对称矩阵的 Pfaffian 以及由 $2r \times 2r$ 主子矩阵的 Pfaffian 生成的理想的类似结果。这回答了 Grochow 近期关于边界复杂度设定下多项式理想复杂度的疑问。我们给出了该结果的若干应用,以下强调其中两项。$\bullet$ 我们证明了由低深度电路计算的理想证明系统反驳的超多项式下界。这将 Limaye、Srinivasan 和 Tavenas 近期的低深度电路下界突破扩展到了证明复杂度设定。对于许多自然电路类,我们展示了困难实例的近似证明复杂度由行列式的近似电路复杂度所支配。$\bullet$ 我们为多项式规模低深度电路构造了新的命中集生成器。对于任意 $\varepsilon > 0$,我们构造了种子长度 $O(n^\varepsilon)$ 的生成器,其在种子长度与次数之间实现了近乎最优的权衡,并且可由近线性规模(相对于其输出规模)的低深度电路计算。这与 Limaye、Srinivasan 和 Tavenas 近期获得的生成器种子长度相匹配,但改进了生成器的次数与电路复杂度。