近正交基下的低阶下界

低阶多项式已成为提供统计-计算鸿沟证据的强大范式 [Wein25]。对于检测问题——即测试种植分布 $\mathbb{P}'$ Against 空分布 $\mathbb{P}$（具有独立组成部分）——标准方法是使用 $\mathbb{L}^2(\mathbb{P})$-正交多项式族来估计优势。然而，对于估计任务或更复杂的测试问题，其中 $\mathbb{P}$ 具有某些种植结构，以至于没有简单的 $\mathbb{L}^2(\mathbb{P})$-正交多项式族可用时，这种方法会失效。为解决这一挑战，已提出几种技术解决方案 [SW22,SW25]，尽管其实现可能较为精细。在本工作中，我们提出了更直接的证明策略。聚焦于随机图模型，我们构造一种在 $\mathbb{P}$ 下近正交的多项式基，恰好在统计-计算鸿沟出现的那些情形下实现近正交。这一近正交基不仅提供了建立低阶下界的直接途径，还允许我们明确识别优化低阶准则的多项式。进而，这为设计最优多项式时间算法提供了洞见。我们通过在已知低阶下界以及针对隐藏子图、随机块模型和排序模型等问题建立新下界来说明该方法的有效性。