Morris 指数族中基于低次多项式的假设检验

低次多项式算法分析是一种强大且新近流行的、用于预测假设检验问题中计算阈值的方法。当前该技术的一个局限是仅限于伯努利分布和高斯分布。我们通过针对 Morris 指数族进行假设检验的低次分析来拓展其适用范围，对高斯、泊松、伽马、二项、负二项以及广义双曲正割分布给出统一处理。随后我们给出若干算法应用。1. 在随机信号通过指数族被观测的模型中，低次多项式的成败由 $z$-score 重叠决定，即两份独立信号副本在零分布下的 $z$-score 向量的内积。2. 在同一模型中，使用低次多项式的检验表现出信道单调性：上述分布依据描述指数族中方差如何依赖于均值的标量参数，可按假设检验的计算代价给出全序。3. 在一个具有特定非高斯噪声分布的带尖矩阵模型中，除非允许对单个矩阵元素取任意大次数的多项式，否则低次预测是不正确的。这表明，Ding、Hopkins 和 Steurer（2020）近期针对重尾噪声带尖矩阵模型提出的对自避行走及其变体求和的多项式，对该模型是次优的。因此，低次多项式似乎在鲁棒性与针对特定模型精细调优的强劲性能之间提供了权衡，并可能在需要算法先检查输入、再利用某些中间计算从若干推断子例程中择一的问题上陷入困境。