Determinantal 与 Pfaffian 理想中的去阶跃闭包结果

代数复杂性理论中的一个重要问题是理解多项式理想的复杂性（Grochow，EATCS 131, 2020）。Andrews 和 Forbes（STOC 2022）研究了由 $n \times m$ 矩阵的 $r \times r$ minors 生成的行列式理想 $I^{\det}_{n,m,r}$。在特征为零或足够大特征的域上，他们展示了对于任意非零 $f \in I^{\det}_{n,m,r}$，$t \times t$ 的变量矩阵行列式（其中 $t = \Theta(r^{1/3})$）可被一个常数深度、多项式大小的 $f$-oracle 代数电路近似计算，即行列式位于此类电路的边界中。该论文中也为 Pfaffian 理想获得了类似结果。在本工作中，我们通过去阶跃化此结果，证明当 $f$ 的次数为多项式时，行列式实际上被常数深度、多项式大小的 $f$-oracle 代数电路精确计算。我们进一步为 Pfaffian 理想建立了类似结果。我们的结果采用隔离引理，并结合对行列式理想和 Pfaffian 理想中多项式的 straightening-law 展开进行细致分析来建立。