低维丢番图几何的复杂性
数论
2007-05-23 v1 代数几何
摘要
我们考虑一些在其他情形下不可判定或开放的丢番图问题的平均情形复杂性。更确切地说,我们证明以下两个问题可在复杂性类 PSPACE 中求解:(I) 给定多项式 f_1,...,f_m ∈ Z[x_1,...,x_n] 定义 C^n 中维数 ≤0 的代数簇,求 f_1=...=f_m=0 在 Z^n 中的所有解。(II) 对给定多项式 f ∈ Z[v,x,y] 定义 C^3 中不可约非奇异非直纹面,判定句子 ``\exists v \forall x \exists y 使得 f(v,x,y)=0?'' 在 N 上量词化后的真值。更进一步,我们证明广义黎曼假设(Generalized Riemann Hypothesis)为真蕴含(I)中多项式系统在 Q^n 中根的判定可通过两轮 Arthur-Merlin 协议完成,即远在多项式层级的第二层之内。(问题(I)当然在无维数假设下不可判定。)问题(II)的可判定性此前未知。在此过程中,我们还给出了在 C 和 Z/pZ 上求解多项式系统的新复杂性与规模界。一个实际关注点是,上述丢番图问题在密码系统的构造中或许应当避免。
引用
@article{arxiv.math/9811088,
title = {On the Complexity of Diophantine Geometry in Low Dimensions},
author = {J. Maurice Rojas},
journal= {arXiv preprint arXiv:math/9811088},
year = {2007}
}