$\mathbb{Z}^n$ 的一个子集，其不可计算性导致存在可解性逻辑不可判定的丢番图方程

对于 $K \subseteq C$，令 $B_n(K)=\{(x_1,...,x_n) \in K^n:$ 对于每个 $y_1,...,y_n \in K$，合取式 $(\forall i \in \{1,...,n\} (x_i=1 \Rightarrow y_i=1))$ AND $(\forall i,j,k \in \{1,...,n\} (x_i+x_j=x_k \Rightarrow y_i+y_j=y_k))$ AND $(\forall i,j,k \in \{1,...,n\} (x_i*x_j=x_k \Rightarrow y_i*y_j=y_k))$ 蕴含 $x_1=y_1\}$。我们断言存在一个算法，对于每个可计算函数 $f:\mathbb{N}->\mathbb{N}$，该算法返回一个正整数 $m(f)$，对于该正整数，第二个算法接受输入 $f$ 和任意整数 $n>=m(f)$，并返回一个元组 $(x_1,...,x_n) \in B_n(\mathbb{Z})$ 且满足 $x_1=f(n)$。我们计算了一个整数元组 $(x_1,...,x_{20})$，使得命题 $(x_1,...,x_{20}) \in B_{20}(\mathbb{Z})$ 等价于一个未解决的丢番图问题。我们证明了如果集合 $B_n(\mathbb{Z})$（$B_n(\mathbb{N})$，$B_n(\mathbb{N} \setminus \{0\})$）对某个 $n$ 是不可计算的，那么存在一个丢番图方程，其在整数（非负整数，正整数）中的可解性是逻辑不可判定的。