关于丢番图方程 $(x+1)^{k}+(x+2)^{k}+...+(lx)^{k}=y^{n}$

设 $k,l\geq2$ 为固定整数。本文中，首先我们证明方程 $(x+1)^{k}+(x+2)^{k}+...+(lx)^{k}=y^{n}$ 在整数 $x,y,n$ 且 $x,y\geq1, n\geq2$ 中的所有解满足 $n<C_{1}$，其中 $C_{1}=C_{1}(l,k)$ 是一个可有效计算的常数。其次，我们证明该方程在整数 $x,y,n$ 且 $x,y\geq1, n\geq2, k\neq3$ 与 $l\equiv0 \pmod 2$ 下的所有解满足 $\max\{x,y,n\}<C_{2}$，其中 $C_{2}$ 是仅依赖于 $k$ 和 $l$ 的可有效计算常数。