Schwartz-Zippel引理的可行构造性证明与寻找命中集的复杂性

Schwartz-Zippel引理指出，如果一个系数在域中的低次多元多项式在域中并非处处为零，那么它在域的每个有限子立方体上只有少数根。这一关于多元多项式的基本事实已在算法、复杂性理论、编码理论和组合学中有诸多应用。我们给出了该引理的一个新证明，该证明相较于标准证明具有若干优势。首先，新证明比先前已知的证明更具构造性。对于立方体的每个给定边长，该证明构造了一个多项式时间可计算且多项式时间可逆的满射，映射到立方体中根的集合上。该满射的定义域是紧致的，从而表明立方体上根的集合可以被压缩。其次，新证明可以在Buss的用于多项式时间推理的有界算术理论 $\mathrm{S}^1_2$ 中形式化。由此产生的一个推论是，用于近似计数的理论 $\mathrm{S}^1_2 + \mathrm{dWPHP(PV)}$ 可以证明多项式恒等式验证问题（PIT）可由多项式规模电路解决。同一理论还可以证明，对于任何显式描述的多项式次数类，存在小的命中集。为了完善图景，我们证明了在理论 $\mathrm{S}^1_2$ 上，此类命中集的存在性\emph{等价于}满射弱鸽巢原理 $\mathrm{dWPHP(PV)}$。这是对研究计算复杂性反推数学这一研究方向的一项贡献。由此产生的一个推论是，为此类多项式类构造小命中集的问题对于显式构造问题类APEPP是完全的，该类问题的总体性源于概率方法。此类问题也被称为范围回避问题类，并以此为人所知和研究。