非交换与只读一次无意识代数分支程序的准多项式时间恒等式测试

我们研究了针对只读一次且无意识的代数分支程序（ABPs）获得确定性黑盒多项式恒等式测试（PIT）算法的问题。该类程序已存在一种确定性白盒多项式恒等式测试算法（由 Raz 和 Shpilka 提出），但在本工作之前，尚无已知的此类黑盒算法。本文的主要结果为该类中大小为 $S$ 的电路构造了首个准多项式规模的击中集（hitting sets），前提是变量顺序已知。由于我们的击中集规模为 $\exp(\lg^2 S)$，这在布尔伪随机性术语中类比于 $\lg^2 S$ 的种子长度，即 Nisan 以及 Impagliazzo-Nisan-Wigderson 针对只读一次无意识布尔分支程序所提出的伪随机生成器的种子长度。对于有界宽度的分支程序，我们的结果更强，给出了规模为 $\exp(\lg^2 S/\lg\lg S)$ 的击中集，对应种子长度为 $\lg^2 S/\lg\lg S$。这与已知的有界宽度只读一次无意识布尔分支程序的结果形成鲜明对比，后者尚无种子长度为 $o(\lg^2 S)$ 的伪随机生成器（或击中集）。在后续工作中，我们加强了 Mulmuley 的一项结果，表明 Noether 正规化引理的特定情形的去随机化可归约为只读一次无意识 ABPs 的黑盒 PIT。利用本文结果，这实现了该情形下 Noether 正规化的去随机化，而 Mulmuley 曾猜想由于其与代数几何问题的关联，此举将十分困难。我们还表明，其他几个电路类可黑盒归约为只读一次无意识 ABPs，包括集合多线性 ABPs（深度 -3 集合多线性公式的推广）、非交换 ABPs（非交换公式的推广）以及（半）对角深度 -4 电路（由 Saxena 引入）。