确定性黑盒恒等测试 $\pi$ 有序代数分支程序

本文研究在程序中变量的顺序和读取次数受限的代数分支程序(ABP)。给定 $n$ 个变量的一个排列 $\pi$，对于一个 $\pi$ 有序 ABP ($\pi$-OABP)，从源点到汇点的任意有向路径 $p$ 上，每个变量至多出现一次，且变量在 $p$ 上出现的顺序必须遵循 $\pi$。一个 ABP $A$ 被称为读取次数为 $r$，如果任意变量在 $A$ 中至多出现 $r$ 次。我们的主要结果涉及恒等测试问题。在任意域 $F$ 上以及黑盒模型(即仅能通过查询访问多项式)中，我们得到以下结果：读取次数为 $r$ 的 $\pi$-OABP 可计算多项式可以在 $\DTIME[2^{O(r\log r \cdot \log^2 n \log\log n)}]$ 内进行测试。我们的下一组结果研究了 OABP 的计算局限性。结果表明，任何计算行列式或永久式的 OABP 都需要规模 $\Omega(2^n/n)$ 和读取次数 $\Omega(2^n/n^2)$。我们给出了一个在某个特定选取的域 $G$ 上、包含 $2n+1$ 个变量的多重线性多项式 $p$，使得任何计算 $p$ 的 OABP 必须至少读取某个变量 $2^n$ 次。我们证明，对于任意 $0 < 2r-1 \leq n$，$n$ 个变量上的 $r$ 次初等对称多项式可以由一个规模为 $O(rn)$、读取次数为 $r$ 的 OABP 计算，但不能由读取次数为 $(r-1)$ 的 OABP 计算。最后，我们给出了一个多项式 $p$ 和两个变量顺序 $\pi \neq \pi'$ 的例子，使得 $p$ 可以由一个只读一次的 $\pi$-OABP 计算，但任何计算 $p$ 的 $\pi'$-OABP 必须至少读取某个变量 $2^n$ 次。