关于 ROABPs 排序查找与等价测试的难度

表示多项式的 Read-Once Oblivious Algebraic Branching Program (ROABP) 的复杂度高度取决于所采用的变量排序。Bhargava 等人证明寻找最优排序是 NP 难的，并提供一些证据（基于小集扩张假设）表明对最优 ROABP 宽度的逼近也难以实现。在另一项工作中，Baraskar 等人表明测试多项式是否位于稀疏度最多为 s 的 $\mathrm{GL}_n$ 轨道中是 NP 难的。基于此，本文提出以下结果：首先，我们证明在输入以电路形式呈现时，对最小 ROABP 宽度进行任意常数因子的逼近是 NP 难的。这消除了前述工作中对更强假设的依赖。其次，我们表明测试给定稀疏表示的输入多项式是否位于仿射 $\mathrm{GL}_n$ 轨道中的宽度为 w 的 ROABP 中是 NP 难的。进一步地，我们表明在特征为 0 的域上，即使输入多项式为齐次的，也NP 难。这是一种首次给出的稠密大小为多项式级代数分支程序 (VBP) 子类的成员测试的 NP 难性结果。最后，我们将难度的来源定位在最低可能的非平凡次数，即二次型上，证明该问题即使针对二次型也是 NP 难的。