关于盒上凸性检测的复杂性
最优化与控制
2019-03-14 v2 计算复杂性
数据结构与算法
系统与控制
机器学习
摘要
近期已证明，四次多项式的全局凸性检验问题是{强} NP-hard 的，回答了 N.Z. Shor 的一个开放问题。当涉及全局凸性时，该结果在多项式次数上是极小的。然而，在许多应用中，人们仅关注在紧区域（最常见为盒，即超矩形）上检验凸性。本文中，我们证明该问题同样是强 NP-hard 的，事实上对低至三次的多项式亦如此。该结果在多项式次数上是极小的，并在某种意义上说明了非线性优化求解器中的凸性检测为何仅限于二次函数或具有特殊结构的函数。作为副产品，我们的证明表明，检验区间矩阵族中所有矩阵是否均为半正定这一问题也是强 NP-hard 的。该问题此前由 Nemirovski 证明为（弱）NP-hard，在鲁棒控制理论中具有独立意义。
引用
@article{arxiv.1806.06173,
title = {On the Complexity of Detecting Convexity over a Box},
author = {Amir Ali Ahmadi and Georgina Hall},
journal= {arXiv preprint arXiv:1806.06173},
year = {2019}
}