矩阵多面体的稳定性测试

受鲁棒控制与切换线性动力系统问题的启发，我们考虑检验 $\mathbb{R}^{n \times n}$ 中 k 个矩阵的所有凸组合是否稳定的问题。特别地，我们关注是否存在能在 n 和 k 上多项式时间求解该问题的算法。我们证明若对任意固定实数 d>0 有 $k= \lceil n^d \rceil$，则问题是 NP-hard 的，意味着在 P≠NP（计算机科学中广为相信的猜想）成立时不存在关于 n 的多项式时间算法。另一方面，当 k 为独立于 n 的常数时，已知该问题可在关于 n 的多项式时间内求解。利用这些结果以及可测切换规则方法，我们证明主要结论：验证具有多于 $n^d$ 个满足 $0 \ge A_i + A_i^{T}$ 的矩阵 $A_i \in \mathbb{R}^{n \times n}$ 的连续时间切换线性系统的绝对渐近稳定性是 NP-hard 的。