稀疏多项式与常数支撑多项式等价性测试的NP难度性

一个$s$稀疏多项式至多包含$s$个非零项系数的单项式。稀疏多项式等价性测试问题（ETsparse）要求决定给定的多项式$f$是否等价于某个$s$稀疏多项式。即，给定$f \in \mathbb{F}[\mathbf{x}]$和$s \in \mathbb{N}$，ETsparse要求检查是否存在$A \in \mathrm{GL}(|\mathbf{x}|, \mathbb{F})$和$\mathbf{b} \in \mathbb{F}^{|\mathbf{x}|}$，使得$f(A\mathbf{x} + \mathbf{b})$为$s$稀疏的。我们证明，如果$f$以稀疏表示形式给出（即作为非零系数和指数向量的列表），则ETsparse在任意域$\mathbb{F}$上均为NP难。这回答了[Gupta-Saha-Thankey, SODA'23]和[Baraskar-Dewan-Saha, STACS'24]中提出的问题。该结果表明，如果输入以稀疏表示形式给出，则深度为3的算术电路的一个稠密子类的最小电路大小问题（MCSP）为NP难。我们还证明，对于给定的$s$稀疏多项式$f$，寻找最小的$s_0$使得$f$位于某个$s_0$稀疏多项式的轨道中，并以$s^{\frac{1}{3}-\epsilon}$因子进行近似，是NP难的；注意，$s$因子近似是平凡的，因为输入为$s$稀疏。最后，我们证明对于任意常数$\sigma \geq 5$，检查给定（以稀疏表示形式给出）的多项式是否位于某个支撑为$\sigma$的多项式的轨道中是NP难的。多项式$f$的支撑是指$f$中任何单项式中出现的最大变量数。这些结果通过直接从3-SAT问题进行归约获得。