高效测试稀疏 GF(2) 多项式

我们提出了首个既具有查询效率又具有时间效率的算法，用于测试未知函数 $f: \{0,1\}^n \to \{0,1\}$ 是 $s$-稀疏 GF(2) 多项式还是与所有此类多项式的距离至少为 $\eps$。我们的算法对 $f$ 进行 $\poly(s,1/\eps)$ 次黑盒查询，运行时间为 $n \cdot \poly(s,1/\eps)$。此前针对该测试问题的唯一算法 \cite{DLM+:07} 虽然使用了 poly$(s,1/\eps)$ 次查询，但其运行时间关于 $s$ 是指数级的，关于 $1/\eps$ 是超多项式级的。我们的方法显著扩展了 \cite{DLM+:07} 的“隐式学习测试”方法论。该早期工作的学习部分是在概念类上进行暴力穷举搜索，以找到与随机样本一致的假设。在本工作中，学习部分采用了 Schapire 和 Sellie \cite{SchapireSellie:96} 提出的针对稀疏 GF(2) 多项式的复杂精确学习算法。本工作的一个关键要素使我们能够模拟 \cite{SchapireSellie:96} 所需的成员查询，即建立了一项分析，阐明了稀疏 GF(2) 多项式在受限于某些“低影响”变量集时所展现出的新简化性质。