最小电路规模问题的平方和下界

我们在平方和（SoS）证明系统中证明了最小电路规模问题（MCSP）的下界。我们的主要结果是：对每个布尔函数 $f: \{0,1\}^n \rightarrow \{0,1\}$，SoS需要 $\Omega(s^{1-\epsilon})$ 阶才能证明 $f$ 不具有规模为 $s$ 的电路（对任意 $s > \mathrm{poly}(n)$）。作为推论，我们得到关于陈述 NP $\not \subseteq$ P/poly 不存在低阶SoS证明。我们还表明，对任意 $0 < \alpha < 1$，存在电路复杂度大于 $2^{n^{\alpha}}$ 的布尔函数，但SoS需要大小 $2^{2^{\Omega(n^{\alpha})}}$ 才能证明这一点。此外，我们对单调布尔切片函数的最小\emph{单调}电路规模证明了类似结果。我们的方法相当通用。即，我们表明若证明系统 $Q$ 具有足够强的约束满足问题下界，且仅依赖于约束-变量关联图的良好扩展性，且进一步 $Q$ 具有足够强的表达力使得变量可被局部布尔函数替换，则MCSP问题对 $Q$ 是困难的。